Was für Probleme beschäftigen mich?

Posted in Work Wednesday by Nils on 08 March 2017

Wenn man physikalische Effekte der echten Welt beschreiben möchte, dann modelliert man diese häufig mit partiellen Differentialgleichungen. Das klingt ziemlich anstrengend und langweilig, aber diese Gleichungen beschreiben, wie sich ein Auto bei einem Unfall verformt, wie sich Wellen auf dem Ozean bewegen und wie die Membran einer Trommel schwingt.

Fluss

Nehmen wir zum Beispiel mal das Problem der Diffusion: Diese Gleichungen beschreiben, wie sich Konzentrationsunterschiede ausgleichen, wie also Materialien von einem Punkt zu einem anderen Punkt fließen. Dieser Fluss N wird nach Fick's erstem Gesetz mit

Flux

beschrieben. Das umgedrehte Dreieck heißt Nabla-Operator und beschreibt eine räumliche Ableitung, so wie man es aus der Schule kennt. Allerdings arbeitet diese spezielle Ableitung in mehreren Dimensionen. Das Ergebnis dieser Operation ist also ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Konzentrationsanstieges zeigt. Weil Dinge von hohen Konzentration zu niedrigen Konzentrationen fließen (das kann man übrigens mit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begründen), muss der Fluss in die Gegenrichtung des Gradienten zeigen und wir verwenden deshalb ein Minus. Man kann sich das etwa so vorstellen, wie im Kindergarten: Wenn alle Kinder in einer Ecke stehen sollten, dann ist der Kinderkonzentrationsgradient zu dieser Ecke sehr groß und folglich werden sich die Kinder in die Gegenrichtung (zu all den Spielzeugen) bewegen und gleichmäßig im Raum verteilen. Der Faktor D beschreibt dabei übrigens, wie schnell das geschieht. Ein Altenheim hätte dementsprechend also ein deutlich geringeres D, weil die Senioren sich träger und langsamer bewegen.

Erhaltung

Nur der Fluss alleine hilft uns aber nur in einem Zeitpunkt und nicht bei der Vorhersage, wie sich die Konzentration mit der Zeit entwickeln wird. Dafür wird in der Regel die Erhaltungsgleichung genutzt:

conservation

Der erste Term beschreibt die zeitliche Änderung der betrachteten Größe und der zweite Term beschreibt die Divergenz des Flusses. Das ist sozusagen eine Bilanz aller Flüsse: Wenn alle Kinder zu den Bauklötzen strömen, dann hat dieser Punkt eine positive Divergenz. Man könnte jetzt sagen, dass keine Kinder dazukommen oder verschwinden und die Anzahl der gesamten Kinder deshalb erhalten (Erhaltungsgleichung) bleibt. Bei den Senioren hingehen könnte man etwas makaber annehmen, dass die Anzahl mit der Zeit schrumpft. Das kann man in dem rechten Term f - dem Quellterm - mit einer negativen Zahl modellieren.

Randbedingungen

Um das Problem vollständig zu beschreiben, benötigen wir noch ein paar Randbedigungen und eine Anfangsbedingung. Diese enthalten in diesem Fall so Informationen, dass Menschen nicht durch Wände gehen können und wie die Konzentration am Anfang verteilt ist. Das kann man auch klug aufschreiben:

BC and IC

Lösung

Leider kann man diese Methoden im Gegensatz zur Schulmathematik meistens nicht einfach analytisch lösen. Deswegen habe ich das mal in meinem Computer numerisch berechnet:

Kindergarten:

Kindergarten

Seniorenheim:

Seniorenheim

Die weißen Pfeile repräsentieren den Fluss und je roter die Farbe ist, desto höher ist die Konzentration.

Was hat das mit meiner Arbeit zu tun? Sehr viel - diese Gleichung ist eine stark vereinfachte Form einer Gleichung, die ich auch bei der Batteriesimulation löse. Allerdings gibt es da noch mehrere Effekte und Kopplungen zu anderen Gleichungen, die neue Herausforderungen bringen.